Eratóstenes: cómo medir la Tierra con una sombra

Al mediodía del solsticio de verano, un palo vertical proyectaba sombra en Alejandría. Más al sur, en la ciudad egipcia de Siena —la actual Asuán—, se contaba que el Sol iluminaba el fondo de los pozos y que los objetos verticales no daban sombra. Para casi cualquiera, aquello habría sido una curiosidad del calendario. Para Eratóstenes, era una oportunidad de medir el mundo.

Hacia el 240 a. C., este sabio vinculado a la Biblioteca de Alejandría convirtió una diferencia de iluminación en una estimación de la circunferencia terrestre. Sin satélites ni una expedición alrededor del planeta. Le bastaban una distancia, un ángulo y una idea geométrica extraordinariamente sencilla.

El bibliotecario que no se conformaba con los libros

Eratóstenes nació hacia el 276 a. C. en Cirene, en la actual Libia. Estudió en Atenas y acabó en Alejandría, la gran capital intelectual del Egipto gobernado por los Ptolomeos. Allí llegó a dirigir su célebre biblioteca. Su trabajo no consistía precisamente en pedir silencio y ordenar rollos: también se dedicó a las matemáticas, la geografía, la astronomía y la cronología.

La institución formaba parte de un ambiente de investigación sostenido por la monarquía. Reunir textos era reunir conocimientos sobre lugares, distancias, cielos y pueblos. En ese contexto, una información procedente del sur de Egipto podía convertirse en materia prima científica.

Conviene quitar de en medio un mito: Eratóstenes no tuvo que demostrar que la Tierra era redonda. La esfericidad terrestre ya tenía defensores sólidos entre los pensadores griegos. En el siglo IV a. C., Aristóteles había expuesto argumentos como la sombra circular que la Tierra proyecta sobre la Luna durante los eclipses.

El reto era otro: ¿cuánto medía aquella esfera? Saber que una naranja es redonda no te dice si tienes delante una naranja o un balón. Eratóstenes buscó una escala para el planeta y encontró la pista en la distinta inclinación con que llegaba la luz solar a dos ciudades.

La historia, además, nos llega con un hueco importante. Su tratado sobre la medida de la Tierra se perdió. El relato más conocido del procedimiento lo conservó Cleomedes, un autor posterior. Tenemos la explicación del método, no el cuaderno de campo del bibliotecario.

Dos ciudades y un Sol muy lejano

Según esa explicación, en Siena el Sol se encontraba prácticamente sobre la vertical al mediodía del solsticio de verano. La ciudad estaba cerca del trópico de Cáncer, el paralelo donde el Sol alcanza el cenit al mediodía del solsticio de junio. En Alejandría, situada más al norte, los objetos verticales sí proyectaban una sombra apreciable.

La herramienta asociada al experimento es el gnomon: una varilla vertical cuya sombra permite estudiar la posición del Sol. El nombre suena a aparato de laboratorio con presupuesto propio, pero un palo bien colocado cumple esa función. Eso sí: lo importante no era la longitud de la sombra por sí sola, sino el ángulo que permitía obtener.

La explicación de Cleomedes utiliza dos simplificaciones: que Alejandría y Siena estaban sobre el mismo meridiano y que los rayos solares llegaban paralelos a ambas ciudades. La segunda es una aproximación excelente porque el Sol está enormemente lejos de la Tierra. La primera no es exacta: las dos ciudades también están desplazadas de este a oeste.

En una Tierra esférica, las verticales locales apuntan en direcciones distintas: ambas se prolongan hacia el centro del planeta. Por eso, unos rayos solares paralelos pueden caer verticales en una ciudad e inclinados en otra. La diferencia de sombras revela la curvatura.

Aquí está el salto brillante: el ángulo medido en Alejandría corresponde, en ese modelo, al ángulo que separa las dos ciudades visto desde el centro terrestre. El palo no medía solo la altura del Sol. Estaba delatando una porción del planeta.

La cuenta que cabía en unas líneas

El valor transmitido es una cincuentava parte de la circunferencia completa: 7,2 grados. Si el círculo entero tiene 360 grados, basta dividir 360 entre 7,2 para obtener 50. Es decir, el trayecto entre ambas ciudades representaba una de cincuenta porciones iguales de una vuelta a la Tierra.

Faltaba conocer la longitud de esa porción. El relato atribuye a la distancia entre Alejandría y Siena un valor de 5.000 estadios, una antigua unidad de longitud. Multiplicar esa distancia por 50 daba una circunferencia terrestre de 250.000 estadios. Una operación breve para un objeto descomunal.

Otras fuentes antiguas atribuyen a Eratóstenes una cifra de 252.000 estadios. Esa cantidad tiene una comodidad matemática: dividida entre los 360 grados de una circunferencia, da exactamente 700 estadios por grado. Los testimonios conservados no permiten reconstruir con certeza todos los pasos que llevaron de una cifra a otra.

Tampoco sabemos con seguridad cómo obtuvo la distancia entre las ciudades. Las versiones populares suelen incorporar un caminante que cuenta pasos, una caravana o una contratación especial. Son adornos tentadores, pero no conviene hacerlos pasar por una escena documentada del experimento.

Lo que sí podemos seguir es la estructura del cálculo. Eratóstenes no necesitaba recorrer el ecuador: necesitaba medir una parte y averiguar qué fracción del conjunto representaba. Es el mismo principio que permite calcular el tamaño de una pizza a partir de una porción, con el pequeño inconveniente de que aquí la pizza era la Tierra.

¿Acertó tanto como te han contado?

La respuesta depende de una palabra: estadio. En la Antigüedad no existía una única longitud universal para esa unidad, y no sabemos con certeza cuál empleó Eratóstenes. Convertir su resultado a kilómetros exige escoger una equivalencia. Ahí nacen muchas discrepancias sobre su precisión.

Si se adopta un estadio de 157,5 metros, los 250.000 estadios equivalen a 39.375 kilómetros. Frente a los aproximadamente 40.000 kilómetros de una circunferencia terrestre, el error ronda el 2 %. Es un resultado magnífico. Pero ese porcentaje depende de la equivalencia elegida: no es una precisión demostrada sin discusión.

El escenario real también era menos perfecto que el dibujo geométrico. Siena no estaba exactamente sobre el trópico y las ciudades no compartían meridiano. Esas diferencias no arruinan el método, aunque impiden tratar el relato conservado como si fuera una medición moderna con todos sus errores registrados.

La hazaña sigue en pie sin necesidad de redondearla hasta convertirla en milagro. Un estudioso del siglo III a. C. relacionó una observación local con el tamaño de un planeta y obtuvo una estimación de la escala correcta. No confundió el mundo con una esfera de unos pocos miles de kilómetros ni necesitó verlo desde fuera.

Ahí queda la imagen: un palo clavado en el suelo, una sombra sobre el polvo y, escondida en ese pequeño triángulo oscuro, una vuelta entera a la Tierra.